בעיית מונטי הול היא בעיה שמשום מה קשה לאנשים להבין. גם אנשים שאוהבים מתמטיקה, שמחזיקים מעצמם אינטילגנטים, אפילו אשכנזים, מסתבכים עם ההיגיון שלה. אנחנו פה כדי לעשות לכם סדר עם 5 דרכים שיעזרו לכם להבין את בעיית מונטי הול

מי זה מונטי הול ולמה זה חשוב שהוא יהודי

אבל רגע, לפני, תזכורת קצרה למה הבעיה בדיוק:
מונטי הול זה השם האמריקאי של אברי גלעד. כלומר לא בדיוק, אבל שניהם הנחו תוכנית דומה בשם "עשינו עסק". ושניהם – איך לא – יהודים, אבל זה לא כל כך חשוב. בכל מקרה, בתוכנית היה איזה קטע שבו המשתתף צריך לבחור בין שלושה וילונות שרק מאחורי אחד מהם יש פרס, ואז באו המתמטיקאים שאוהבים להתנשא, והמציאו מזה בעייה:

לפניך שלוש דלתות.
מאחורי שתי דלתות יש עז. מאחורי השלישית יש מכונית מרצדס.
אתה כמובן מעוניין במכונית ולא בעז, ואתה בוחר בדלת כלשהי. נניח א'.
מה שקורה עכשיו הוא שהמנחה הולך ופותח את אחת הדלתות שבהן לא בחרת (נקרא לה דלת ב') ומראה לך שמאחוריה יש עז (לא משנה מה יש מאחורי הדלת שבה בחרת – תמיד תהיה לפחות עוד דלת אחת שמאחוריה יש עז).
עכשיו, המנחה שואל האם אתה רוצה להחליף את הבחירה שלך, ולבחור בדלת שנשארה סגורה (השם שלה כמובן יהיה: דלת ג') במקום בדלת א'.

בואו נכתוב שוב את השתלשלות העניינים באופן כרונולגי:

• בחרת בדלת א'
• המנחה מראה שמאחורי דלת ב' יש עז
• אתה יכול להחליף את הבחירה שלך מדלת א' לדלת ג'

ועכשיו השאלה: האם שווה לך להחליף את הבחירה, ולבחור בדלת ג', במקום דלת א'?

התשובה האינטואיטיבית היא שאין סיבה. קודם בחרת 1 מתוך 3 דלתות, והסיכוי היה בערך 33%. עכשיו אתה בוחר לכאורה בין שתי דלתות אז הסיכוי לכל אחת הוא 50% – גם לזו שבחרת מקודם וגם אם תחליף.

התשובה המתמטית היא שהסיכוי לזכיה בדלת ג', הוא פי 2 מהסיכוי לזכיה בדלת א'. כלומר: שווה להחליף.

מה? למה? איך?

ובכן, בואו ננסה להסביר את זה ב5 דרכים שונות:

תבדקו בעצמכם:

הנה לינק למשחק פשוט בסקראץ' שעושה בדיוק את זה. אתם יכולים לנסות בעצמכם ולראות שאם תחליפו דלת הסיכויים לכך שתזכו גדלים. אלו ההוראות: לתחילת המשחק לוחצים על דגל, ואז אתם בוחרים דלת, המנחה פותח דלת אחרת שמאחוריה עז (במקרה הזה ספציפית קנטאור), אתם בוחרים אם להחליף או לא.

המלצה שלי: שחקו 10 פעמים עם החלפה ו10 פעמים בלי החלפה, ותראו מה מנצח יותר.

טבלה:

אנחנו עדיין בשלב הבדיקה העצמית, אבל עכשיו בואו נפרוס את כל האפשרויות בטבלה אחת. העמודות יציינו את מיקום המכונית, השורות ייצגו את בחירת השחקן:

אם כן, בשלושה מקרים מתוך תשעה, ההחלפה לא משתלמת, בששה מתוך תשעה היא כן משתלמת, ככה שמדובר בדיוק בפי 2.

"תמיד מקבלים את ההיפך"

בואו נחשוב על זה רגע אחד. כאשר המנחה שואל אותי אם אני רוצה להחליף או לא, יש שתי דלתות סגורות. אחת עם מכונית ואחת עם עיזה פזיזה. כלומר, אם קיבלתי את המכונית, בדלת השניה יש עז; ואם קיבלתי את העז בדלת השניה יש מכונית. עכשיו תחזרו רגע לתחילת המשחק: כשאני בחרתי דלת מסוימת, ידעתי שב66% יש מאחוריה עז. זה לא השתנה (הרי לא החלפתי את הבחירה), ככה שאם אני הופך עכשיו את הבחירה, ב66% אני יוצא מהאולפן עם הרכב החדש שלי. שווה.

בואו נשחק בגדול

נניח שיש במשחק מאה דלתות. 99 עם עז, ואחת עם מכונית. בחרתם דלת כלשהי, נניח דלת מספר 42 (פרסום סמוי? ייתכן). עכשיו, מה הסיכוי שזו הדלת המנצחת? אחוז אחד בלבד. 99% שהמכונית נמצאת באחת הדלתות האחרות.
עכשיו בא המנחה היקר ומקל עליכם, הוא פותח 98 דלתות אחרות (כלומר לא את זו שבחרתם), ומראה לכם שכולן עם עיזים. רק דלת 62 נשארת סגורה משום מה, ודלת 42 שאותה בחרתם. איפה לדעתכם יש סיכוי גדול יותר למצוא את המכונית?
(חשוב לציין ש: א. המנחה יודע איפה המכונית, ככה שהפתיחה של הדלתות שלו לא אקראית. ב. הוא מחוייב לפתוח את 98 דלתות העזים).

חלוקה לקבוצות

אם אף אחד מהטיעונים עד עכשיו לא שכנע אתכם, בואו ננסה לחשוב על הבעיה בצורה טיפה שונה. אני מחלק את הדלתות לשתי קבוצות. בקבוצה אחת נמצאת הדלת שבחרתי, (נקרא לה קבוצה 1) ובקבוצה השניה שתי הדלתות שלא בחרתי (נקרא לה קבוצה 2).
בשלב הזה, יש לקבוצה 1 סיכוי של 33% להכיל את המכונית, ולקבוצה 2 סיכוי של 66% להכיל את המכונית*. אילו הייתי יכול לבחור את כל קבוצה 2, זה היה נהדר אבל אני לא יכול, כי מותר לי לבחור רק דלת אחת, ובקבוצה 2 יש שתי דלתות.
בשלב הזה, המנחה נחלץ לעזרתי ואומר לי ככה "בקבוצה 2 יש לפחות דלת אחת עם עז, נכון? אחלה. אני מבטל לך אותה. הנה דלת עם עז, תתעלם מקיומה". עכשיו אני יכול לבחור את קבוצה 2 כי היא מכילה רק דלת אחת (כלומר שתי דלתות, אבל המנחה ספיילר לי דלת לא רלוונטית אחת).
איכשהו, הטיעון הזה הוא היחיד ששכנע אותי. אולי בגלל שאני ממש יכול לדמיין את אברי גלעד לוחש לי בוא אני אעזור לך. זה לא מאד מתמטי, אבל וואלה ככה אני מה אפשר לעשות. רוצים להתנשא עלי? בבקשה. תהנו.

לסיום, מוזמנים לנסות את המשחק עם דלת אחת:

*(כן, זה 33 ושליש ו66 ושני שליש, סבבה).